Matemática escolar desde un punto de vista superior, I: un mio libro, in collaborazione con Carlo Madonna e Alberto Barcia (dell'Università Autonoma di Madrid) uscito nel 2011, che tratta a livello storico-didattico gli elementi fondamentali dell'aritmetica e della teoria insiemistica.
Negli ultimi anni mi sono interessato di storia della matematica: l'editore Alphatest mi ha commissionato un "bignamino" relativo al periodo che va dalla Preistoria alla fine del Cinquecento: Piccola storia della matematica, vol.1. Si tratta di una sintetica ma esauriente esposizione degli sviluppi della matematica dalle origini fino al Rinascimento, che cerca di esporre anche i principali sviluppi della matematica nei paesi extra-europei (Egitto, India, Cina, Maya, etc.), cercando di fornire un rapido inquadramento storico: oltre a una descrizione dei principali risultati dell'epoca, di una discussione delle fonti e anche di biografie, vere o presunte, di matematici del passato, comprende diverse schede concepite per stimolare il lettore in percorsi interdisciplinari.
Indice
Storia e preistoria della matematica: Cosa intendiamo per matematica?; Preistoria dei numeri; La notazione numerica e la scrittura; La misurazione del tempo e i cicli naturali; La misurazione di aree e volumi; Matematica, astronomia e religione.
La matematica in Mesopotamia e nell'Antico Egitto: Gli albori della storia della matematica; Il sistema sessagesimale, la notazione posizionale e "l'antenato dello zero"; Il periodo paleo-babilonese; Geometria, aritmetica e "algebra" babilonesi; Matematica lungo il corso del Nilo; Esempi di aritmetica e geometria egizia.
La matematica dei popoli indoeuropei: India e Grecia: Gli Indoeuropei e gli albori della matematica Indiana; Gli Indoeuropei nella Grecia arcaica e le origini del pensiero speculativo; Le scuole ionica e pitagorica e gli inizi della geometria greca; La mistica pitagorica dei numeri; La scoperta degli incommensurabili, il punto geometrico e l'infinito in matematica; Le costruzioni con riga e compasso nella matematica del v secolo.
L'età classica della matematica greca: Problemi e idee della matematica al tempo di Platone; L'influenza di Platone sulla matematica greca; La geometria solida; L'opera perduta di Eudosso di Cnido; Aristotele e la transizione verso la fioritura scientifica ellenistica; I frammenti della scienza ellenistica.
Apogeo ellenistico: Euclide, Archimede e Apollonio: Euclide e i suoi Elementi; Il più grande matematico dell'Antichità; Il calcolo di lunghezze, aree, volumi e... granelli di sabbia; Archimede e il metodo di Eudosso; Il metodo meccanico di Archimede; Apollonio di Perga e la teoria delle coniche.
La matematica nell'Impero Romano: Roma, la tradizione ellenica e l'Ellenismo; Alcuni campi di applicazione della matematica presso i Romani; Erone, Diofanto e la tradizione aritmetica babilonese; Astronomia e trigonometria nell'alto Impero; La geometria nel basso Impero; Il tramonto della matematica in Occidente.
Splendori della matematica asiatica: Origine e caratteri della matematica cinese; I Nove capitoli: gli Elementi della matematica cinese; Geometria e aritmetica nella Cina antica; Matematica e astronomia nell'India classica; L'apice della matematica indiana.
La matematica nel mondo islamico: La cultura islamica al crocevia fra oriente e occidente; Al-Khwarizmi e la creazione dell'algebra; La geometria islamica fra teoria e pratica; Alcuni elementi innovativi della matematica islamica; La trigonometria; La diffusione del sapere matematico dell'Islam nell'Europa medievale.
La matematica nel Rinascimento: La cultura europea fra Medioevo e Rinascimento; Geometria, architettura e pittura nel Quattrocento; Il Rinascimento algebrico; Tartaglia, Cardano e Ferrari; I numeri complessi e l'inizio del simbolismo algebrico; L'alba della rivoluzione scientifica.
Ho collaborato nel 2011 alla stesura del volume Alberto Barcia, Paolo Caressa y Carlo G. Madonna Matemática escolar desde un punto de vista superior, I: conjuntos y números, Ediciones de la Universidad Autónoma de Madrid, in spagnolo: si tratta di una introduzione all'aritmetica che utilizza il linguaggio della teoria degli insiemi e che affronta questi argomenti classici ma elementari dal punto di vista della matematica universitaria. Di questo libro ho scritto le note storiche e collaborato alla stesura della parte insiemistica e assiomatica, oltre che alla redazione degli esercizi.
L'immagine della copertina è una mia foto scattata a Perugia e che ritrae un particolare della Fontana maggiore capolavoro di Nicola e Giovanni Pisano, in particolare la nicchia dove la Aritmetica e Retorica sono allegoricamente ritratte: mi sembrava una scelta appropriata dato che nel libro si trattano la logica e l'aritmetica.
Índice general
Introdución
El lenguaje de la matemática: La estructura lógica de la matemática; ¿Que es una teoría matemática?; Conjuntos y operaciones con los conjuntos; Producto cartesiano y relaciones de equivalencias; Aplicaciones; Grupos y estructuras algebraicas; Notas históricas; Ejercicios.
Números y sus operaciones: Axiomática para los números naturales; Definición recursiva de suma y relación de orden; Divisibilidad entre números naturales; El sistema posicional; mcd y mcm de dos números naturales; Criterios de divisibilidad; Números primo y factorización prima; Notas históricas; Ejercicios.
Números enteros, racionales y decimales: Los números enteros; Los números racionales; Los números decimales; Notas históricas; Ejercicios.
Negli ultimi anni mi sono interessato di storia della matematica: l'editore Alphatest mi ha commissionato un "bignamino" relativo al periodo che va dalla fine del Cinquecento all'inizio dell'Ottocento: Piccola storia della matematica, vol.2. Si tratta di una sintetica ma esauriente esposizione degli sviluppi della matematica in questa epoca, che comprende anche un rapido inquadramento storico: vi sono descrite le principali idee matematiche fiorite in quel periodo, senza ovviamente entrare nei dettagli, e racchiude una cinquantina di biografie di matematici, più alcune schede concepite per stimolare il lettore in percorsi interdisciplinari.
Indice
La matematica nei secoli xvii e xviii: Aspetti della matematica dei secoli xvii e xviii; Galileo e la nascita della scienza moderna; Elementi di novità nella scienza e nella matematica seicentesche; La scoperta dell'utilità della matematica; La circolazione del sapere scientifico; Il contesto storico e culturale.
La rinascita della geometria: Algebra e geometria agli inizi del Seicento; Fermat: teoria dei numeri e geometria analitica; La geometria algebrica di Cartesio; La nuova prospettiva di Desargues; Pascal: geometria e teologia; La parabola della geometria nel xvii secolo.
Le origini del calcolo infinitesimale: L'influenza di Galileo; I precursori di Newton e Leibniz in Francia; L'aritmetica dell'infinito e il teorema fondamentale del calcolo; La scoperta newtoniana del calcolo infinitesimale; Leibniz: logica, algebra e analisi; La querelle Newton vs Leibniz.
Sviluppi del calcolo infinitesimale nel xviii secolo: I problemi sollevati dal calcolo infinitesimale; I Bernoulli: una dinastia di matematici; L'enigma delle serie infinite; Il calcolo delle probabilità; Le equazioni differenziali; Lo stato dell'analisi alla metà del Settecento.
L'irripetibile opera di Eulero: Il più prolifico matematico di tutti i tempi; I metodi di Eulero e la loro efficacia; I contributi al calcolo infinitesimale; Gli integrali ellittici: da Senigallia a Berlino; Il gusto per la teoria dei numeri; Applicazioni, problemi e soluzioni.
La matematica fra lumi e Rivoluzione: Un matematico enciclopedico; Matematica e politica; Geometria e rivoluzione; Probabilità e determinismo in un sol uomo; Lo scandalo della geometria e la passione per l'aritmetica; La teoria di Fourier e gli sviluppi del concetto di funzione.
Lagrange: un filosofo stoico nell'epoca dei lum: Il meglio di Italia e Francia alla corte di Berlino; La formalizzazione analitica del calcolo delle variazioni; I contributi alla meccanica celeste; La grande sintesi della meccanica analitica; Le funzioni analitiche e la teoria dei numeri; Facile come l'algebra?
Spero che leggere questo libriccino sia divertente almeno quanto lo è stato scriverlo...
Una semplice e divulgativa discussione del concetto di correlazione in statistica viene seguita da un bizzarro esempio di applicazione, vale a dire la teoria per la quale le crisi economiche globali e la costruzione di nuovi grattacieli da record siano collegate in qualche modo. Applicando un po' di sano scetticismo e qualche conto banale cerchiamo di ridimensionare la questione...
Un breve articolo nel quale si riassume la carriera scientifica di Lagrange nel bicentenario della sua morte, mostrando l'indole cosmopolita di questo saggio uomo di scienza, che ha vissuto i primi trent'anni della sua vita a Torino, per poi spostarsi nella prestigiosa accademia della Berlino di Federico II e terminare la sua parabola umana e scientifica, carico di onori e gloria, nella Parigi del periodo rivoluzionario e napoleonico.
La seconda parte di un articolo divulgativo nel quale si illustrano i principali esempi di applicazione della matematica presso gli antichi Romani, utilizzando alcune fonti classiche della letteratura latina e alcune idee di moderni studiosi di scienza del mondo antico.
La prima parte di un articolo divulgativo nel quale si collezionano i principali esempi di applicazione della matematica presso gli antichi Romani, mostrando come l'elaborazione di concetti matematici algoritmici fosse comune nel mondo tardo repubblicano e imperiale, contrariamente a quanto comunemente si crede.
ABSTRACT: In this note we discuss, by means of examples, the relation between history and didactics of science: after recalling the classical arguments which advocates the importance of the historical approach for the didactics of science, a geometrical metaphor is introduced to provide a conceptual framework, which we call conceptual triangle. By means of this metaphor we analyse some examples of scientists who used history both when performing their research and as a didactic tool. Next we introduce the motivations which, in our opinion, are more relevant to the integration of history with didactics, quoting several examples.
Un articolo divulgativo che tratta di alcune applicazioni della teoria dei gruppi a domini non prettamente scientifici, come la teoria della percezione e della conoscenza di Poincaré e la psicologia cognitiva di Piaget.
Un articolo divulgativo che introduce alcune tecniche matematiche che sono utilizzate per definire il profilo geografico di un serial killer e, sperabilmente, trovare il suo nascondiglio in modo da poterlo catturare: il tutto è stato di ispirazione per l'episodio pilota della serie televisiva Numb3rs.
Un articolo divulgativo che spiega in modo (spero) semplice alcuni concetti di base della finanza entrati nel linguaggio e nell'immaginario comune da un po' di tempo a questa parte. Non mancate di visitare il sito della rivista XlaTangente, che contiene molto materiale interessante di matematica divulgativa.
ABSTRACT: We consider complex foliated tori, their periods and polarizations on them. We define the moduli space of polarized complex foliated tori and show that it is a normal analytic complex space. Finally we discuss some examples.
ABSTRACT: We give a geometric description of different classes of Poisson modules as introduced in [1]: we start with tensors tangent to leaves on a Poisson manifold, consider Poisson structures on bundles and also an example of Poisson module on a manifold which does not come from any vector bundle; finally we use this language to sketch some integral calculus on Poisson manifolds: we suggest how to introduce integration, homology and cohomology in our setting.
ABSTRACT: We sketch some differential calculus on Poisson algebras and introduce a concept of module and representation on a Poisson algebras; we give examples and consider cohomologies connecting these constructions to the algebra of Poisson brackets.
ABSTRACT: Regular Poisson structures and foliated (almost) complex structures are considered on manifolds, as a generalization of the Kähler case. We discuss the existence of compatible Poisson and (almost) complex structures in general and we give examples of such structures on product of spheres, Poisson manifolds equipped with Dirac brackets induced by contact forms, Iwasawa manifold, etc.
Raccolgo i miei scritti inediti di matematica che hanno veste intellegibile (il mio archivio personale è molto più vasto): li ho classificati in tre livelli di difficoltà, perché la matematica è una scienza iniziatica, cioè non si può pretendere di capire un argomento immediatamente, ma bisogna tornarvi sopra più volte, ed ogni volta si sale ad un gradino superiore di conoscenza, come nel salire una scala a chicciola: visti dall'alto sembriamo girare in cerchio, in realtà saliamo sempre di più...
Gli scritti "divulgativi" dovrebbero essere intellegibili ad un lettore di cultura media; gli scritti "universitari" sono pensati per un lettore motivato e corrispondono al livello universitario e post-universitario; gli scritti "di ricerca" sono specialistici e tecnici, e si rivolgono agli addetti ai lavori.
I testi sono forniti in html o pdf, e questi ultimi sono spesso anche forniti nel formati dvi (compresso nel formato zip), utilizzato nella comunicazione scientifica: per leggerli è disponibile del software gratuito: Acrobat Reader per i file pdf e TeX per i file dvi.
Le slide di una conferenza sulla matematica del Settecento e in particolare sull'intreccio fra calcolo delle variazioni e principi della meccanica, con un excursus sulla transizione fra la matematica del Seicento e quella del Settecento.
Le slide di una conferenza sul concetto di successione casuale e sulla generazione di numeri pseudo-casuali, con molte animazioni Javascript: le pagine con le animazioni contengono delle brevi istruzioni per l'uso passando col mouse sopra i pulsanti e le caselle di testo.
Si tratta di una breve nota divulgativa nella quale tento di spiegare in modo semplice l'argomento diagonale di Cantor applicato alla enumerazione di tutte le funzioni possibili.
È una nota che ho scritto per rabbia, in seguito ad un delirante articolo apparso sul quotidiano La Repubblica così pieno di idiozie in fatto di matematica da far venire il sangue alla testa... Ringrazio Domenico Fiorenza per avermi segnalato un errore nel testo, dovuto al suddetto afflusso ematico alla cervice.
Si tratta di un intervento che ho scritto anni fa, quando si vagheggiava una ipotesi di riforma universitaria (che purtroppo ha poi dato luogo all'attuale sfacelo) su sollecitazione del prof. Claudio Procesi che stava raccogliendo pareri in materia.
Una breve introduzione alla geometria e alla topologia scritta per una pagina WEB pubblicata qualche tempo fa dall'Università di Firenze per un progetto didattico sulle scuole superiori.
Una breve nota sulle sfide matematiche in voga nel Rinascimento, ed in particolare sulla storia dell'equazione di terzo grado, la cui prima soluzione fu data in versi da Nicola Tartaglia.
Note di carattere didattico (livello universitario)
Queste note sono principalmente il frutto di appunti per lezioni universitarie, e sono stati usati, mi pare con profitto, in diverse università.
Capitoli da Metodi Matematici della Meccanica Quantistica (1994/2008)
I seguenti capitoli del libro Metodi Matematici della Meccanica Quantistica trattano di diversi argomenti matematici che hanno interesse di per sé: per come sono scritti possono essere letti indipendentemente dal resto del libro ed essere usati come introduzione o prontuario per certi argomenti di base.
Si tratta delle note che ho redatto per un mio seminario presso l'Università di Firenze, tenuto nel 1996 per sostenere l'esame finale di un corso di dottorato in teoria delle probabilità, incentrato intorno alle applicazioni del moto browniano alla teoria quantistica: vi ho incluso le nozioni necessarie di teoria della misura e diverse correzioni, tenendo presente i testi classici della letteratura.
Queste brevi note costituiscono un tentativo di riassumere alcune nozioni di base sulle ondicelle: si tratta dei miei appunti di studio sull'argomento, ragion per cui vi figurano poche nozioni ed esempi ma lavorati in dettaglio, usando il formalismo ed il linguaggio della teoria elementare di Fourier piuttosto che i dialetti della teoria dei segnali, delle serie storiche, etc.
Questi appunti sono pensati per studenti del I anno di ingegneria e descrivono l'algoritmo di eliminazione di Gauss ed alcune sue applicazioni alla risoluzione di problemi elementari di algebra lineare.
Questo file .zip raccoglie una serie di testi molto sintetici che contengono parte delle mie lezioni di esercitazioni per il corso di Analisi e Geometria (AA. 2002/2004) presso la Facoltà di Ingegneria dell'Università di Firenze: contengono alcuni esercizi (con risposte ma non soluzioni), alcune note di teoria, specie di algebra lineare, e alcuni compiti con le soluzioni svolte. Per consultare le note decomprimerle e leggere il file esercitazioni/index.html.
Si tratta delle note che ho redatto mentre preparavo l'esame di Calcolo Numerico: una cinquantina di pagine sui metodi numerici in Algebra Lineare, scritte usando il libro di Monegato Fondamenti di calcolo numerico come guida; hanno il pregio di riportare gli algoritmi in ANSI C: lascio a disposizione anche CalNum, una libreria C che estende notevolmente le funzioni discusse nel testo.
Questi sono gli appunti di una lezione di esercitazioni per un corso dell'INDAM nella quale mi fu chiesto di parlare della varietà di Grassman: richiede un minimo di conoscenze di topologia.
Questi sono gli appunti di una lezione di esercitazioni per un corso dell'INDAM nella quale mi fu chiesto di introdurre il concetto matematico di tensore: di nuovo basta sapere un po' d'algebra lineare.
Questi sono gli appunti di una lezione di esercitazioni per un corso dell'INDAM nella quale mi fu chiesto di introdurre i gruppi classici: non richiede altro che un po' di conoscenze di algebra lineare.
Questi sono dei brevi cenni introduttivi di analisi complessa, molto elementari, nel senso che non usano la topologia, e che possono servire come primo approccio.
Note di carattere specialistico
Raccolgo qui note, preprint e altro materiale di carattere più specialistico (ma non per questo a volte meno comprensibili) ed alcune note sugli argomenti di ricerca dei quali mi sono interessato.
Slide di un seminario tenuto il 26 aprile 2012 presso il dipartimento di Didáctica Específicas dell'Università Autonoma di Madrid. Si tratta di una discussione della matematica degli antichi romani, che cerca di sfatare alcuni luoghi comuni utilizzando recenti studi sulla matematica nella vita comune e sul concetto di scienza presso i romani (per esempio di Cuomo e Lehoux).
Slide di un seminario tenuto nell'ambito del master universitario Máster Universitario en Didácticas Específicas en el Aula, Museos y Espacios Naturales tenuto il 25 aprile 2012 presso il dipartimento di Didáctica Específicas dell'Università Autonoma di Madrid. Si tratta di una discussione sui rapporti fra storia e didattica della scienza, che propone due metafore illustrate da esempi, e in particolare alcune idee originali sull'applicazione della didattica alla storia.
Nota che che riassume le motivazioni e gli esempi di alcune ricerche recenti sul connubio fra strutture di Poisson e strutture simplettiche: questi risultati sono stati presentati al congresso Proprietà geometriche delle varietà reali e complesse, III tenutosi a Mondello dal 1 settembre all'8 settembre 2002.
Testo di un seminario tenuto il 15 giugno 2000 presso il dipartimento di Matematica dell'Università di Firenze U.Dini: si tratta di una disamina di un teorema di Merkulov.
Testo scritto per un seminario YAS Young Algebra Seminar, Tor Vergata 17 gennaio 2000: si tratta di una esposizione del formalismo algebrico alla base della geometria di Poisson, e di una rapida introduzione al concetto di modulo di Poisson da me formulato.
Testo di una conferenza da me tenuta nell'aprile 2000 a Perugia nell'àmbito del workshop Gruppi Quantici organizzato da Nicola Ciccoli presso il Dipartimento di Matematica dell'Università di Perugia: si tratta di alcune mie riflessioni scaturite dalla lettura del classico Mathematical Foundations of Quantum Mechanics di von Neumann ed ampliate a fornire una breve introduzione all'algebra del formalismo hamiltoniano (secondo la mia interpretazione).
Note del seminario tenuto nell'estate del 1998 a Roma I (seminari degli studenti). Richiede un po' di conoscenze, almeno un bienno di matematica universitaria, per essere compreso.
Note di alcuni seminari che ho dato a Firenze nel 1995, e che introducono alle strutture di Poisson: algebre e varietà di Poisson, con qualche riguardo per i gruppi di Poisson-Lie.
Metodi matematici della Meccanica Quantistica
Questo libro origina dalle note da me prese durante le lezioni del corso di Meccanica Quantistica tenuto dal Prof. Sergio Doplicher presso il Dipartimento di Matematica dell'Università La Sapienza di Roma, nell'A.A. 93/94: gli appunti delle lezioni corrispondono grosso modo alla seconda parte ed agli ultimi tre capitoli della terza parte, mentre il restante materiale è una aggiunta di nozioni più o meno preliminari o complementari prese dalla letteratura classica e da me rielabolate.
Va da sé che anche la parte originata da appunti è stata rielaborata e che questi non rappresentano né lo stile, né l'erudizione, né l'ecletticità delle lezioni del professor Doplicher, che queste note non possono e non intendono sostituire: questa versione più o meno definitiva si mette liberamente a disposizione per uso personale o didattico ma senza fini di lucro (una versione preliminare è circolata per anni, specie fra gli studenti di Roma I).
NB: eventuali errori e refusi sono responsabilità interamente mia.
Il libro è scaricabile collettivamente o singolarmente: collettivamente nei formati pdf (2Mb) e (zippato) dvi (980Kb).
Altrimenti è possibile scaricare i singoli capitoli, tenendo presente che i link dei riferimenti non sono attivi in questi file, e che la numerazione delle pagine nell'indice analitico potrebbe essere imprecisa (si tratta di file prodotti automaticamente da script): [ultimo aggiornamento: 28 Marzo 2005; le versioni precedenti contengono errori!!!]
Parte introduttiva
Riepilogo di analisi, algebra e topologia necessario per la comprensione del corso.
I primi tre capitoli sono una introduzione ai gruppi topologici ed ai gruppi ed alle algebre di Lie, e sono una mia aggiunta alle lezioni di Doplicher; il resto è una introduzione alla matematica della quantizzazione.
L'argomento della mia tesi di dottorato è la geometria delle parentesi di Poisson sulle varietà, ed il tentativo di introdurre invarianti algebrici, geometrici ed analitici per studiare queste strutture, in particolare per stabilire il calcolo di Ricci su queste varietà. Si può scaricare il file intero in vari formati: tesi.dvi.zip, tesi.pdf oppure i singoli capitoli:
Il termine geometria differenziale fu usato per la prima volta da Luigi Bianchi nel suo classico libro Lezioni di geometria differenziale (1894), che, assieme alle Leçons sur la théorie générale des surfaces (1887-96) di Gaston Darboux, è stato il trattato standard in questo campo per molti anni.
In realtà la geometria differenziale è nata come naturale applicazione delle tecniche analitiche sviluppate nei secoli XVII e XVIII alla geometria analitica, fondata da René Descartes. L'idea di Cartesio è di identificare il piano e lo spazio rispettivamente con gli insiemi delle coppie (x,y) e delle terne (x,y,z) di numeri: allora le curve e le superficie sono descritte da insiemi di punti che corrispondono alle soluzioni di equazioni:
f(x,y)=0
g(x,y,z)=0
Quando, con la creazione dell'analisi, fu introdotta la nozione di funzione differenziabile, si iniziarono a studiare le curve parametrizzate da funzioni differenziabili, ad esempio da Christian Huygens, Leonard Euler e Gaspard Monge. Eulero introdusse il concetto di curvatura di una superficie descritta da un'equazione g(x,y,z)=0 nel suo Recherches sur la courbure des surfaces (1760), dove diede un metodo per calcolare la curvatura di una curva appoggiata su una superficie, mentre Monge stabilì i principali risultati per le curve nel piano e nello spazio nelle sue Applications de l'Analyse à la Géometrie (1807). Molti allievi di Monge ne continuarono l'opera, vale citarne qualcuno: Charles Dupin, Jean Baptiste-Marie Charles Meusnier, Jean-Victoire Poncelet e Olindo Rodrigues.
Ma la pietra angolare della geometria differenziale classica è il lavoro di C. F. GaussDisquisitiones generales circa superficies curvas (1823-26) dove si possono trovare tutte le principali definizioni e teoremi del periodo pre-Riemanniano della geometria differenziale: Gauss associa ad una superficie due forme bilineari che ne codificano le proprietà metriche, ed intraprende lo studio delle proprietà metriche intrinseche di una superficie, piuttosto che continuare a studiare la superficie come un mero sottoinsieme dello spazio euclideo.
Da allora, la geometria differenziale è divenuta lo studio delle strutture sulle varietà differenziabili, precisamente le sezioni dei fibrati che sono invarianti rispetto a qualche gruppo di trasformazioni. l'esempio classico è quello della metrica riemanniana, cioè una forma bilineare simmetrica non degenere sul fibrato tangente della varietà.
Una varietà può essere pensata come un oggetto tappezzato di piccole toppe che somigliano a pezzi del piano euclideo; ciò vuol dire che intorno ad un punto di una varietà è valida l'usuale geometria euclidea, mentre su vasta scala (se i pezzi sono incollati in modo differenziabile) la sua geometria può essere molto complicata. Ad esempio la superficie sferica della terra è descritta negli atlanti dalle carte geografiche, che sono regioni piane: le carte si sovrappongono in modo differenziabile.
Il concetto di varietà fu introdotto al livello di generalità che possiede attualmente agli albori del XX secolo, per quel che ne so, nel libro Die Idee der Riemannschen Fläche (1913) di Hermann Weyl, ma era un concetto sicuramente chiaro a Henri Poincaré (fine del XIX secolo).
Le varietà sono estensivamente usate in meccanica: ad esempio sia la teoria della relatività generale che la meccanica hamiltoniana non possono essere propriamente formulate senza di esse, ed infatti molti sviluppi della geometria differenziale furono stimolati dalla meccanica e dalla fisica (anche oggi).
Fra i testi on line di matematica ho lasciato qualche links ad informazioni e lezioni (prevalentemente introduttive) sulla geometria differenziale e le sue applicazioni.
Sulle mie pagine potete trovare qualche classico testo di geometria differenziale di maestri del passato.
Ci sono migliaia di libri di geometria differenziale ed applicazioni: qui cito i miei preferiti.
M. Do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces Prentice Hall, 1976.
Una introduzione eccellente alla teoria classica, esposta nel linguaggio moderno; è scritto benissimo.
W.M. Boothby: An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry, Academic Press, 1986.
Si tratta di una introduzione alla geometria riemanniana e differenziale in uno stile elementare e chiaro, e malgrado ciò va al cuore di tutte le nozioni con precisione ed con un livello soddisfacente di generalità.
M. Spivak, A comprehensive introduction to differential geometry.
Questa serie di ponderosi volumi e scritta in uno stile così piacevole e penetrante che si legge molto meglio di libriccini con poche pagine. Spivak introduce in dettaglio tutti i temi fondamentali della geometria differenziale contemporanea, con l'accento, negli ultimi tre volumi, sull'analisi globale sulle varietà riemanniane. Non offre un quadro esauriente, secondo i parametri odierni, perché c'è poca geometria complessa e simplettica, temi oggi molto sviluppati, ma resta, assieme a quelli di do Carmo, il miglior punto di ingresso nella geometria differenziale. Gli esercizi sono uno dei punti di forza del libro.
Si tratta di una completa ed aggiornata esposizione delle geometria riemanniana e della geometria differenziale moderne (strutture sui fibrati); una lettura piacevolissima.
A.T. Fomenko: Differential Geometry and Topology,
Consultant Bureau, 1987
Un corso avanzato di geometria
differenziale
che tratta dell'omologia, della teoria di Morse, delle 3-varietà, degli spazi simmetrici e della geometria simplettica.
Kobayashi-Nomizu: Foundations of Differential Geometry (2
vols), Wiley, 1963-69
Questo è il testo standard di riferimento,
conciso ed abbastanza completo, sebbene sia stato scritto 40 anni fa!
Ecco un elenco di alcuni libri di matematica (su argomenti fondamentali) che considero belli come libri in sé, e non solo come manuali o testi tecnici: penso che al di là delle specializzazioni ogni matematico potrebbe o meglio dovrebbe leggerli (e, si spera, vorrebbe farlo).
I libri di geometria differenziale sono citati a parte in questa sezione del sito.
R. Abraham, J. Marsden, Foundations of Mechanics.
Una introduzione completa alla Meccanica (lagrangiana e hamiltoniana) che, oltre ad essere scritto in modo chiaro e scorrevole, contiene praticamente tutti i risultati fondamentali enunciati e dimostrati in modo rigoroso, con esempi ed esercizi illuminanti; si segnala anche per i preliminari matematici, di geometria soprattutto, che lo rendono un testo indipendente e un'opera di riferimento insostituibile.
V. Arnold, Metodi matematici della meccanica classica.
Più agile del precedente, è scritto meravigliosamente bene, va al cuore dei problemi e contiene numerosi esempi ed esercizi molto stimolanti; gli argomenti più tecnici o avanzati sono raccolti in appendici alla fine del libro.
E. Artin, Galois Theory.
La classica trattazione della teoria di Galois, sintetica ma che contempla le parti fondamentali della teoria, basate sull'algebra lineare.
R. Bott, L.W. Tu, Differential Forms in Algebraic Topology.
Un testo completo di topologia algebrica, che tratta coomologia, omologia, omotopia e successioni spettrali, ricco di esempi ed orientato alla geometria: infatti parte dalla geometria delle varietà differenziabili, e quindi dalla coomologia di de Rham, per poi toccare ogni altro argomento di topologia algebrica, in modo concreto ma elegante e rigoroso. Un capolavoro.
N. Bourbaki, Algèbre.
Resta il più completo e rigoroso testo di algebra lineare e sue ramificazioni: ricco di esercizi, è secondo me il più ben fatto della serie.
C. Chevalley, Theory of Lie Groups.
Il primo testo moderno sui gruppi di Lie: agile ed elegante è ancora una lettura piacevole e prodiga di spunti.
A. Church, Mathematical Logic.
Il più bel testo di logica mai scritto, purtroppo incompleto: infatti il secondo volume non è mai stato èdito, e quindi la teoria di Gödel, della calcolabilità e degli insiemi non vi figurano, ma la profondità e l'erudizione del volume lo rendono unico anche così. L'introduzione da sola è un capolavoro di erudizione e rigore.
P. Cohen, Set Theory and Continuum Hypothesis.
Testo classico di teoria degli insiemi, orientato all'esposizione dei risultati di Cohen sull'indipendenza degli assiomi della teoria degli insiemi: in realtà contiene una rapida ma chiarissima introduzione alla materia.
H.-D. Ebbinghaus et al., Zahlen.
Questo libro è un esempio di come si possa scrivere storia della matematica e matematica al tempo stesso, in modo che sia gli storici che i matematici possano usarlo come riferimento: tratta del concetto di numero dalle origini, sia (prei)storiche che logiche, fino alle più recenti concezioni in materia. È scritto da un pool di matematici di gran livello, che rendono eterogenea, piacevole ed erudita la lettura. (C'è una traduzione inglese, ma la versione originale tedesca costa molto meno!).
F.R. Gantmacher, The Theory of Matrices.
A dispetto del titolo, si tratta di un testo di algebra lineare di alto livello, che tratta completamente la teoria della struttura degli operatori lineari (e molto di più); pieno zeppo di esempi, applicazioni ed intuizioni (compresa una interpretazione meccanica dell'algoritmo di Gauss!).
K. Gödel, On Undecidable Propositions of Formal Mathematical Systems.
Queste sono le note di alcune lezioni di Gödel sul suo più famoso teorema: si tratta di un'esposizione brillante e non troppo impegnativa, perché l'autore lavora al secondo ordine, il che rende più digeribili, specie ai matematici, le sue argomentazioni, veramente geniali.
F. Hirzebruch, Topological Methods in Algebraic Geometry.
Un testo a cavallo fra geometria complessa e topologia algebrica, che essenzialmente tratta le generalizzazioni e le interpretazioni topologiche del teorema di Riemann-Roch: a questo scopo, l'autore ha scritto una delle più lucide e brillanti introduzioni alla geometria delle varietà complesse che io conosca.
K. Knopp, Theory and Applications of Infinite Series.
Questo libro è molto vecchio ma ancora piacevolissimo: fornisce una trattazione completa delle serie, partendo praticamente da zero, cioè dalla definizione dei numeri reali (una discussione con molte notazioni storicamente interessanti) ed affronta in dettaglio la teoria delle serie numeriche, delle serie di potenze e di funzioni, fino ai risultati sulle serie asintotiche e divergenti.
A.N. Kolmogorov, S. Fomin, Elementi di teoria delle funzioni e analisi funzionale.
Un classico testo di analisi superiore che contiene tutte le nozioni di base necessarie allo studio dell'analisi funzionale, ed include anche tutti i preliminari, insiemistici, topologici, di teoria della misura e teoria di Fourier, con esempi e spiegazioni chiarissime. Sarebbe stupido non iniziare a studiare l'analisi funzionale da questo libro.
A.A. Kostrikin, Introduction à l'algèbre.
Questo libro (tradotto dal russo e del quale esiste anche una traduzione inglese) è la più felice introduzione all'algebra moderna che io conosca: da un lato tratta di molte questioni che non si trovano più nei libri contemporanei (ad esempio le funzioni simmetriche), dall'altro fornisce, nella seconda parte, una introduzione completa all'algebra astratta ed alle sue relazioni col resto della matematica. Lo stile è rigoroso ma elementare, e gli esercizi e gli esempi sono molto stimolanti: lo si potrebbe definire "una concreta introduzione all'algebra astratta".
S. Lang, Linear Algebra.
Il miglior trattato introduttivo di algebra lineare, con esempi tratti dall'analisi e dalla geometria, che tratta tutti gli argomenti in modo elementare e comprensibile. Consigliabile a chiunque.
J. Milnor, Morse Theory.
Note dalle lezioni di Milnor sul calcolo delle variazioni e la topologia delle varietà; contiene la più succinta e comprensibile introduzione alla geometria riemanniana che io conosca (a parte la notazione un po' esotica) ed è un tale piacere leggerlo fa venir voglia di occuparsi di teoria di Morse.
J. Milnor, Topology from the differentiable viewpoint.
Si tratta di un prezioso libriccino che, nell'arco di una manciata di pagine, raccoglie i risultati fondamentali della topologia delle varietà in modo chiaro, sintetico e brillante.
D. Mumford, Abelian Varietes.
Un libro non introduttivo sulle varietà abeliane ma completo e pieno di spunti brillanti: traspare quanto l'autore abbia le idee chiare in proposito e come sia in grado di chiarirle a chi lo legge. La teoria esposta è allo stesso tempo classica e moderna: un piacere per la mente.
J. von Neumann, Mathematical Foundations of Quantum Mechanics.
Questo testo doveva colmare il deficit di rigore matematico nella meccanica quantistica degli anni '30 (l'autore rimprovera Dirac per non saper giustificare i suoi passaggi chiave: per questo si dovrà attendere la teoria delle distribuzioni di L. Schwartz). Per farlo von Neumann inventa un nuovo approccio alla meccanica quantistica, utilizzando la teoria spettrale degli operatori non limitati negli spazi di Hilbert, che egli stesso inventa allo scopo. Malgrado il linguaggio sia un po' cambiato e la teoria sistemata in quella delle algebre di operatori (pure fondata da von Neumann) questo libro è ancora piacevolissimo e ricco di idee, specie nel vedere quanto von Neumann aveva chiari i misteriosi rapporti fra una teoria matematica astratta ed i fenomeni fisici che può descrivere.
L.S. Pontriagin, Topological Groups.
Un capolavoro assoluto: introduce il lettore alla teoria dei gruppi topologici, dei gruppi di Lie e delle loro algebre, partendo praticamente da zero. L'esposizione è chiarissima, gli esempi accurati ed illuminanti e le argomentazioni assolutamente eleganti. Alcune parti sono meno note, come il capitolo sulla classificazione dei campi topologici, ma non meno intriganti.
C. Shannon, A mathematical theory of communication.
Testo storico della matematica applicata: Shannon vi introduce la teoria dell'informazione, legandola a quella della trasmissione dei codici (argomenti caldi a quel tempo); la trattazione matematica è elegantissima, ed alcuni risultati veramente profondi.
H. Weyl, Space, Time, Matter.
Un testo sulla relatività generale praticamente coevo alla prima diffusione della teoria: contiene una disamina (dal piglio anche storico e filosofico) del problema dello spazio-tempo nella meccanica relativistica, ed i suoi legami con l'algebra lineare e la geometria riemanniana. Oggi risulta ostico per il linguaggio (la notazione tensoriale moderna era di là da venire) ma conserva intatta brillantezza ed eleganza.
H. Weyl, The Theory of Groups and Quantum Mechanics.
Per metà trattato di algebra, per metà trattato di fisica, questo vecchio libro mostra come una grande mente riesce a dare una visione unitaria a teorie e discipline diverse. Vi figura fra l'altro la teoria delle rappresentazioni dei gruppi con molti esempi concreti.
H. Weyl, The Classical Groups.
Anche questo libro di Weyl è difficile da leggere per via dell'assenza di notazione tensoriale: ma si tratta, secondo me, del suo più elegante trattato, e la materia vi è sviluppata con tale profondità che può ancora costituire una introduzione alla parte algebrica della teoria degli invarianti. Grande erudizione.
C'è un sito fondamentale sull'argomento, che è poi quello dal quale tutti gli altri traggono le informazioni, ed è il primo della lista di link che propongo qui di seguito:
Gauss Society whose aim is to preserve the memory of the scholar and the person Carl Friedrich Gauß, in co-operation with the Georg-August University of Göttingen, the Academy of Sciences of Göttingen and the city of Göttingen. They organize lectures, publish article, etc.
The Evariste Galois Archive A resource of biographical material in various languages about this great genius, written by Bernard Bychan.
Muslim Scientists and Islamic Civilization: a site devoted to muslim golden age of science (in particular to great muslim thinkers); it's a well-done and interesting site, with a lot of informations and useful links on islamic civilization.
History of Mathematics A site with informations not bounded to Western thought, but spanning to arabic, indian and japanise mathematicians.
Catalogue of the Scientific Community, a collection of 631 detailed biographies on members of the scientific community during the 16th and 17th centuries, compiled by Richard S. Westfall in the department of History and Philosophy of Science at Indiana University. The Catalogue is part of the Galileo Project at Rice University, a hypermedia exhibit with pages on Galileo's Villa, Maps of Galileo's World, Timelines of Galileo's Life & Era, and Galileo Project Resources: it deserves a visit!.
Gallica, bibliothèque numérique de la Bibliothèque nationale de France è una deliziosa raccolta di decine di migliaia di volumi, principalmente in copia pdf (non in formato testo) della biblioteca nazionale francese: ci sono diverse centinaia di libri di matematica (opere complete, giornali, monografie, etc.) in varie lingue (Francese, Inglese, Tedesco, Italiano, ...) fino agli inizi del XX secolo.
Goettingen State and University Library Server ha più di 4000 documenti e 1800000 immagini on line! Possiede una vasta sezione matematica specie con riviste (come Inventiones Mathematicae, Numeriche Mathematik, Geometric and Functional Analysis, Mathematische Zeitschrift e molte altre).
Numérisation de documents anciens mathématiques colleziona riviste matematiche francesi: Annales de l'institut Fourier (1949-1998), Annales de l'institut Henri Poincaré (1930-1964), Annales mathématiques Blaise Pascal (1994-2000), Annales scientifiques de l'École normale supérieure (1864-1998), Annales de l'université de Grenoble (1945-1948), Bulletin de la SMF (1872-1993), Journées Équations aux dérivées partielles (1974-2003), Mémoires de la SMF (1964-1993), Publications mathématiques de l'IHÉS (1959-1998) [gli aggiornamenti potrebbero essere più recenti].
Kolekcja matematyczno-fizyczna presso la Biblioteka Wirtualna Nauki in Polonia mette a disposizione le seguenti riviste (file pdf): Acta Arithmetica (1935-1965), Annales Polonici Mathematici (1955-1961), Banach Center Publications (1976-1983), Colloquium Mathematicum (1947-1961), Fundamenta Mathematicae (1920-1993), International Journal of Applied Mathematics and Computer Science (2001-2004), Prace matematyczno-fizyczne (1888-1952), Pisma M. Smoluchowskiego (1924-1928), Rozprawy Matematyczne (1952-1955), Studia Mathematica (1929-1982). Inoltre ci sono anche molti volumi delle Monografie matematyczne tomy 1-33, 37, 39, 40, 42, 43, 47, con libri classici di Banach, Kuratowski, Saks, ed altri (in francese, inglese e polacco).
AMS bookstore offre alcuni classici della matematica moderna, tanto per citarne alcuni Dynamical Systems di Birkhoff, Geometric Asymptoticsdi Guillemin e Sternbergs, ed altri!
Testi on line di meccanica celeste tutti classici: contiene anche link ad altri archivi con testi di meccanica celeste (ma anche di matematica e fisica).
MSRI lista di libri con testi di livello universitario anche recenti.
MathWeb: Books ancora dall'AMS, una lista di titoli con link e riferimenti.
Online Mathematics Textbooks è una utilissima lista di libri on-line gratuiti di matematica mantenuta da George Cain.
Decio Cocolicchio mantiene una lunghissima lista di libri on-line, dall'algebra, all'analisi numerica, alla fisica quantistica.
Qui di seguito lascio dei link a singoli testi (libri, note, eserciziari, etc.).
Algebra ed algebra lineare
Robert Ash home page contains some fine books on line about: algebra, number theory, commutative algebra, complex variables.
Andries E. Brouwer home page contains some lecture notes about algebra, arithmetics, logic and topology.
John A. Beachy pages contain many of the definitions and theorems from the area of mathematics generally called abstract algebra. They are intended for undergraduate students taking an abstract algebra class at the junior/senior level, as well as for students taking their first graduate algebra course. It is based on the books Abstract Algebra, by John A. Beachy and William D. Blair, and Abstract Algebra II, by John A. Beachy.
Sulla pagina di Claudio Procesi ci sono gli appunti dei corsi su gruppi di Lie, algebra commutativa e topologia algebrica, ma soprattutto i suoi Appunti di Teoria degli Invarianti e di teoria delle rappresentazioni.
Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals On-line Edition, by H. Jerome Keisler. Un approccio elementare ed intuitivo all'analisi, reso rigoroso dai metodi non standard di A. Robinson: in questo modo si riesce a dare una introduzione all'analisi nello spirito dei suoi padri fondatori.
Natural operations in differential geometry a book by I.Kolár, P.W.Michor and J.Slovák, whose first three chapters contain an introduction to modern differential geometry (not for beginners).
On Alan Weinstein pages you'll find his book on line about the geometry of non commutative algebras, and many survey articles on differential geometry, on various subjects (symplectic, riemannian, Poisson, etc.).
Logica e teoria degli insiemi
Fundamenta Mathematicae on line (1920-1993) presso la Kolekcja matematyczno-fizyczna della Biblioteka Wirtualna Nauki in Polonia.
Paul Bernays: Philosopher of Mathematics is project aimed to prepare and publish a volume of English translations of his papers on the philosophy of mathematics. The originals were written in either German or French, with Bernays himself supplying an English translation in one case. Some of these papers have been collected and published in German under the title Abhandlungen zur Philosophie der Mathematik.
Isaac Newton on line project: a beautiful collection of Newton's works in pdf format, among them the Philosophiae Naturalis Principia Mathematica and his Opticks.
"A=B", by Marko Petkovsek, Doron Zeilberger and myself. (publisher: A K Peters, Ltd.)
Algorithms and Complexity. Copyright 1985.
East Side, West Side (Lecture notes on combinatorial objects and Maple programs for generating them. Copyright 1999.)
Lectures on Integer Partitions (From PIMS lectures given in summer 2000 at U. of Victoria. Copyright 2000.)
Lecture Notes on Numerical Analysis (By Dennis Deturck and myself; For a junior-senior level course; covers numerical solution of ODE's and numerical linear algebra. Copyright 2002.)
They are all free to download!!! And here you'll find also other interesting notes in mathematics.
La lettura dei classici, che è unanimemente e salutarmente praticata ed incoraggiata nel campo umanistico e filosofico, è invece trascurata in campo scientifico: i motivi sono essenzialmente due, 1) molti testi divengono "obsoleti" perché le teorie che espongono sono superate o incomplete, 2) le notazioni che usano sono diverse dalle nostre e spesso incomprensibili. Per fare un esempio un po' estremo, la Begriffsschrift di Frege, pietra miliare della logica matematica, è incomprensibile non tanto perché scritta in tedesco, ma per la notazione a dir poco folle con cui esprime i quantificatori.
Tuttavia credo che leggere i classici sia tempo ben speso: se è vero che la matematica non va riletta ma riscritta, nel senso che le stesse nozioni possono essere espresse in modo molto diverso, più semplice e comprensibile con la notazione opportuna (e quella moderna lo è quasi sempre rispetto a quelle passate) è pure vero che le idee dei grandi matematici sono ancora lì, fra quelle pagine e quei simboli e, si sa, le grandi intuizioni matematiche sono rare. Inoltre, la matematica ha una fortuna indiscutibile rispetto alle altre scienze: le sue nozioni sono, se corrette, definitive. Non esistono teorie sbagliate in matematica. Una teoria può passare di moda, può avere teorie parallele o anche rivali, ma, se da certi assiomi seguono certe conseguenze, questo è vero ab eterno: l'esempio più fulgido è la geometria euclidea. I teoremi di Euclide sono ancora validi e sempre lo saranno, non ha in effetti senso legarli alla temporalità: così gli Elementi di Euclide possono ancora essere letti non come curiosità storica ma come vero e proprio testo di apprendimento: se si prova invece a leggere la Fisica di Aristotele il risultato non è lo stesso...
È vero che il Dialogo sui massimi sistemi di Galileo è ancora una valida fonte per la cinematica classica, ad esempio, ma la visione del mondo è cambiata da allora e la natura che scrutiamo oggi non è più quella che scrutava Galileo: invece il piano euclideo è sempre lo stesso!
Ciò premesso vorrei aggiungere che questa collezione di frammenti è infinitesima rispetto a qualunque ragionevole raccolta di fonti di storia della matematica: si tratta semplicemente di un po' di testi che ho trascritto e talvolta tradotto perché mi hanno affascinato per la loro bellezza e profondità, e che sono di scarsa reperibilità (fatto irritante quest'ultimo: è facile trovare in una libreria la Fisica di Aristotele, ma non l'Arenario di Archimede, che è molto più attuale, strabiliante e geniale).
Questo lavoro è la pietra angolare sulla quale poggia l'imponente edificio della Geometria Differenziale: Gauss è stato il primo ad utilizzare in modo organico le idee del calcolo differenziale ed integrale, nonché l'algebra lineare da lui stesso fondata, per studiare la geometria delle superfici nello spazio cartesiano utilizzando un punto di vista intrinseco. In particolare in questo lavoro si introducono le forme fondamentali di una superficie e si dimostra il theorema egregium sull'invarianza isometrica di queste forme. Questa trascrizione segue il testo dei Werke.
Questa breve nota fu scritta da Riemann per ottenere il titolo di Privattdozent presso l'università di Gottinga, presente Gauss in commissione: in queste poche pagine Riemann ha cambiato la geometria, introducendo concetti che si sarebbero manifestati nella loro pienezza solo nel XX secolo e che avrebbero pervaso le applicazioni fisiche della matematica in modo assoluto (dalla relatività alla meccanica quantistica). Vi si introduce il concetto di metrica su una molteplicità (oggi diciamo "varietà") di dimensione qualsiasi. La trascrizione segue dalla terza edizione, quale si trova nelle opere complete.
Si tratta di un lavoro di Beltrami nel quale il grande geometra italiano mostra come reificare la geometria non-euclidea di Lobacevskij: precisamente, usando gli strumenti della geometria differenziale dell'epoca, Beltrami costruisce una superficie nello spazio sulla quale valgono gli assiomi di Lobacevskij. In questo modo il sistema assiomatico non euclideo si incarna in un (seppur parziale) modello, e a questa scoperta si ascrive la non contradditorietà della geometria non-euclidea (nella misura in cui quella euclidea è non contradditoria!): sarà poi David Hilbert dopo una trentina d'anni a stabilire che non è possibile costruire una superficie completa di tipo beltramiano. La trascrizione è stata fatta sul primo volume delle opere complete.
In questa breve nota Peano dimostra la formula di integrazione per serie di un sistema di equazioni differenziali ordinarie lineari: l'importanza del lavoro sta nel fatto che per formulare e dimostrare il teorema, Peano utilizza in modo consapevole ed essenziale l'algebra lineare, precisamente il concetto di spazio vettoriale e di trasformazione lineare, che espone in modo assiomatico, mediando dai lavori di Grassmann, con spirito ed anche lettera incredibilmente moderni. La parte iniziale è un crash course di algebra lineare che tutt'ora potrebbe benissimo sostituire molti appunti di lezioni di docenti universitari (a parte la terminologia: Peano usa il termine complesso in luogo di vettore, e sostituzione in luogo di trasformazione, seguendo l'uso in voga ai suoi tempi). Insomma, sebbene sia ricordato spesso per gli assiomi dei numeri naturali, a Peano va anche il merito dell'assiomatica dell'algebra lineare così come ancora oggi la impostiamo.
Grattacieli e crisi economiche, Xla Tangente 42, dicembre 2013, pp.24-27. 
